Das Ziegenproblem

Die folgende Aufgabe ist auch als Monty-Hall-Dilemma bekannt und hat schon für heftigste Diskussionen gesorgt.

In einer Gewinnshow stehen drei Tore zur Auswahl. Hinter zwei Toren befindet sich eine Ziege, hinter dem dritten Tor ein Auto. Die Verteilung ist rein zufällig.

Der Kandidat darf zunächst ein Tor auswählen, das jedoch verschlossen bleibt. Der Showmaster weiß, was sich hinter den Toren verbirgt. Er öffnet eines der beiden anderen verbliebenen Tore - nämlich ein Tor, hinter dem sich eine Ziege verbirgt. Der Showmaster gibt jetzt dem Kandidaten die Chance, die Torwahl zu überdenken.

Was soll der Kandidat nun tun? Erhöht ein Wechseln des Tores oder ein Festhalten an der ersten Entscheidung die Chance auf den Gewinn? Oder ist es ohnehin unerheblich, für welches der beiden Tore sich der Kandidat entscheidet? Wie groß sind die Gewinnchancen?

In zwei Drittel aller Fälle wählt der Kandidat zunächst ein Tor, hinter dem sich eine Ziege verbirgt. Bleibt er nun bei dieser Wahl, so wird eben auch in zwei Drittel aller Fälle eine Ziege gewinnen. In anderen Worten gewinnt der Kandidat in einem Drittel aller Fälle das Auto, wenn er bei seiner ersten Wahl bleibt.

Umgekehrt ist in eben diesen zwei Drittel aller Fälle das Auto hinter den beiden Toren zu finden, welche der Kandidat nicht gewählt hat. Da der Showmaster aber das Tor mit der Niete offenbart, muss das einzig verbleibende Tor den Gewinn verbergen.

Fazit: Bleibt der Kandidat bei seiner ersten Torwahl, beträgt die Gewinnchance 1/3. Bei einem Torwechsel verdoppelt sich die Gewinnchance auf 2/3.

Woran liegt es aber nun, dass sich bei einem Wechsel die Gewinnchancen derart vergrößern und nicht etwa bei 50% liegen, weil ja doch zwei gleichartige Tore übrigbleiben nach Eingreifen des Showmasters? Der Showmaster weiß, wo der Gewinn steckt und liefert mit dem Öffnen des Nietentors mehr Information.

Die einfachste exakte mathematische Begründung ist das Aufstellen eines Wahrscheinlichkeitsbaumes, wie oben angedeutet. Alternativ kann man jedoch mit bedingten Wahrscheinlichkeiten und der Formel von Bayes arbeiten.

Ein guter Einstiegspunkt für weitere Informationen ist der Wikipedia-Artikel hierzu.